2.- RAÍCES DE ECUACIONES
     2.1.- Aproximación gráfica
     2.2.- Método de Bisección
     2.3.- Método de Falsa Posición
     2.4.- Método de Newton Raphson
     2.5.- Método de la Secante
     2.6.- Raíces Múltiples
          2.6.1.- Método de Newton Raphson para raíces múltiples
          2.6.2.- Método de Müller

Método de Bisección.

 

 

Introducción

Una vez sepamos que en un intervalo (a,b) existe una única raíz a de la ecuación f(x)=0, iremos sistemáticamente formando intervalos, cada uno contenido en el anterior y también conteniendo a la raíz de la ecuación, de manera que la longitud de estos intervalos sea cada vez más pequeña.

     Para ello suponemos que f es una función continua en el intervalo [a,b] y que la ecuación f(x)=0 tiene una sola raíz en [a,b], de manera que se verificará que f(a).f(b)<0.

 

 

 

 

Fórmula

  xr =(xi + xs)/2

- Con las tres condiciones del algoritmo

 

 

 

 

 

Algoritmo

 

1.- Dada la función escójanse dos valores iniciales para xi y xs de tal manera que sustituyéndolos en la f(x) se encuentre un cambio de signo para determinar             entre que intervalos se encuentra la raíz, si esto se cumple ahí que multiplicar f(xi)*f(xs) y el resultado debe ser menor a cero.

2.- La primera aproximación se encuentra de la siguiente manera:

    xr =(xi + xs)/2

3.- Ahora ahí que determinar en que sub-intervalo esta la raíz para eso se hace lo siguiente

    a) si f(xi)*f(xs)<0

        entonces la raíz esta en el primer sub-intervalo y xs = xr

    b) si f(xi)*f(xs)>0

        entonces la raíz se encuentra en el segundo sub-intervalo y xi=xr

    c) si f(xi)*f(xs)=0 ó f(xs)*f(xr)=0

        entonces xr es la raíz

4.- Después se calcula el error aproximado ( ea%=100(xr(valor actual)-xr(valor anterior)))

    xr(valor actual)

Se vuelve a calcular la siguiente aproximación

(regresar al paso 2 y seguir hasta aquí nuevamente)

y se deja de realizar hasta que el ea% sea igual a 0.01, o se encuentre la raíz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pseudocódigo

 

 

 
Entrada: Una función continua $f(x)$ definida en un intervalo $[a, b]$, con $f(a)$ y $f(b)$ de signos opuestos.

 

 
Parámetros:
 
$N$    = Máximo número de iteraciones.
 
$Tol$ = Nivel de precisión respecto a la solución exacta.
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Inicio
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Defina $i=1$
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Mientras $i\leq N$:
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Defina $m = (a+b)/2$.
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Si $(f(m) = 0) \vee (b-a)/2< Tol $,
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Salida: m.
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Parar
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Si $f(a)\cdot f(m) < 0$ redefina $b = m$. De otra forma, redefina $a = m$.
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Incremente $i = i+1$.
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Salida: "El método fracasó después de $N$ iteraciones".
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Parar.