2.- RAÍCES DE ECUACIONES
     2.1.- Aproximación gráfica
     2.2.- Método de Bisección
     2.3.- Método de Falsa Posición
     2.4.- Método de Newton Raphson
     2.5.- Método de la Secante
     2.6.- Raíces Múltiples
          2.6.1.- Método de Newton Raphson para raíces múltiples
          2.6.2.- Método de Müller

Método de la Müller.

 

Introducción

Este método utilizado para encontrar raíces de ecuaciones  con raíces múltiples, y consiste en obtener los coeficientes de la parábola que pasa por tres puntos elegidos. Dichos coeficientes son sustituidos en la formula cuadrática para obtener el valor donde la parábola intersecta al eje X; es decir, la raíz estimada. La aproximación se puede facilitar, si se escribe la ecuación de la parábola en una forma conveniente.

Una de las mayores ventajas de este método, es que al trabajar con la formula cuadrática es posible localizar tanto raíces reales, como raíces complejas.

Fórmula

Los tres valores iniciales necesitados son denotados como xk, xk-1 y xk-2. La parábola pasa a través de los puntos: (xk, f(xk)), (xk-1, f(xk-1)) y (xk-2, f(xk-2)), si se escribe en la forma de Newton, entonces:

y = f(x_k) + (x-x_k) f[x_k, x_{k-1}] + (x-x_k) (x-x_{k-1}) f[x_k, x_{k-1}, x_{k-2}], \,

donde f[xk, xk-1] y  f[xk, xk-1, xk-2] denotan restas divididas. Esto puede ser escrito como:

y = f(x_k) + w(x-x_k) + f[x_k, x_{k-1}, x_{k-2}] \, (x-x_k)^2 \,

donde

w = f[x_k,x_{k-1}] + f[x_k,x_{k-2}] - f[x_{k-1},x_{k-2}]. \,

La próxima iteración esta dada por la raíz que brinda la ecuación  y = 0.

x_{k+1} = x_k - \frac{2f(x_k)}{w \pm \sqrt{w^2 - 4f(x_k)f[x_k, x_{k-1}, x_{k-2}]}}.

 

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