2.- RAÍCES DE ECUACIONES
     2.1.- Aproximación gráfica
     2.2.- Método de Bisección
     2.3.- Método de Falsa Posición
     2.4.- Método de Newton Raphson
     2.5.- Método de la Secante
     2.6.- Raíces Múltiples
          2.6.1.- Método de Newton Raphson para raíces múltiples
          2.6.2.- Método de Müller

Método de Newton-Raphson.

 

Introducción

    Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto [xi,f(xi)] de la curva. por lo común, el punto donde esta tangente cruza el eje x representa una aproximación mehorada de la raíz.

El método de Newton-Rapshon se deduce a partir de esta interpretación geométrica.

Fórmula

De la figura se tiene que la primer derivada en x es equivalente a la pendiente:

que se reordena para obtener:

la cual se conoce como fórmula de Newton-Raphson.

 

Algoritmo

    Un algoritmo para el método de Newton-Raphson es como los anteriores, pero debe modificarse para calcular la primer derivada. Esto se logra incluyendo simplemente una función definida por el usuario.

    Además, a la luz del análisis anterior sobre los problemas potenciales del método de Newton-Raphson, el programa se podría mejorar incorporando algunas consideraciones adicionales:

1. Se debe incluir una rutina de graficación en el programa.
2. Al final de los cálculos, se necesitará sustituir siempre la raíz final calculada en la función original, para determinar si el resultado se acerca a cero. Esta prueba protege el desarrollo del programa contra aquellos casos en los que se presenta convergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeñs de Error, mientras que la solución aún está muy lejos de una raíz.
3. El programa deberá incluir siempre un límite máximo permitido del número de iteraciones para estar prevenidos contra soluciones oscilantes, de lenta convergenxia o divergentes que podrían persistir en forma interminable.
4. El programa deberá alertar al usuario para que tome en cuenta la posibilidad de que f'(x) sea igual a cero en cualquier momento durante el cálculo.

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