Método de la Falsa Posición.

Introducción

    Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su método de aproximación por "fuerza bruta" es relativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa basada en una visualización gráfica.

    Un inconveneiente del método de bisección es que al dividir el intervalo de x1 a xu en mitades iguales, no se toman en cuenta las magnitudes de f(x1) y f(xu). Por ejemplo, si f(x1) está mucho más cercana a cero que f(xu), es lógico que la raíz se encuentre más cerca de x1 que de xu. Un método alternaticvo que aprovecha esta visualización gráfica consiste en unir f(x1) y f(xu) con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de las x representa un mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta de una "falsa posición" de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín, regula falsi. También se le conoce como método de interpolación lineal.

 

Fórmula

Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de las x se estima mediante:

Multiplicando en cruz la ecuación anterior obtenemos:

Agrupando términos y reordenando:

Dividiendo entre

Esta es una de las formas del método de la falsa posición. Esta puede ponerse en una forma alternativa al separa los términos:

sumando y restando xu en el lado derecho:

Agrupando términos se obtiene:

o:

Esta es la fórmula de la falsa posición. El valor de xr calculado con la ecuación reemplazará, después, a cualquiera de los dos valores iniciales, xl o xu, y da un valor de la función con el mismo signo de f(xr). De esta manera, los valores xl y xu siempre encierran la verdadera raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada.

Algoritmo

Paso 1: Elija valores iniciales inferior, xi, y superior xu, que encierran la raíz, de forma tal que la funciòn cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f(xl) f(xu) <0.

Paso 2: Una aproximación de la raíz xr se determina mediante:

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué subintervalo está la raíz:

a) Si f(xl)f(xr) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga xu = xr y vuelva al paso 2.

b) Si f(xl)f(xr) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga xl = xr y vuelva al paso 2.

c) Si f(xl)f(xr) = 0, la raíz es igual a xr; termina el cálculo.

Applet

Pseudocódigo

FUNCTION FalsaPos(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)
    iter=0
    fl=f(xl)
    DO
        xrold=xr
        xr=xu-((f(xu)*(xl-xu))/(f(xl)-f(xu)))
        fr=f(xr)
        iter=iter+1
        IF xr!=0 THEN
            ea=ABS((xr-xold)/xr)*100
        END IF
        test=fl*fr
        IF test<0 THEN
            xu=xr
        ELSE IF test>0 THEN
            xl=xr
            fl=fr
        ELSE
            ea=0
        END IF
        IF ea<es OR iter >= imax EXIT
    END DO
FlasaPos=xr
END FalsaPos